5. Geometri Ruang (Dimensi 3)

                                 Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan
Kubus Tabung


rusuk kubus = a
volume = a³ panjang diagonal bidang = aÖ2
luas = 6a² panjang diagonal ruang = aÖ3 r = jari-jari
t = tinggi
volume = p r² t luas = 2prt

Prisma Kerucut

LA = luas alas
t = tinggi
volume = LA.t r = jari-jari
t= tinggi
g = garis pelukis
volume = 1/3 pr²t luas = prs

Limas Bola

LA = luas alas
t = tinggi
volume = 1/3 LA t r =jari-jari
volume = 4/3 pr³
luas = 4pr²








                        Limas Segitiga (Bidang Empat)
BIDANG EMPAT TEGAK

Bidang empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas atau proyeksi titik puncaknya tepat pada salah satu titik sudut bidang alas..




BIDANG EMPAT BERATURAN
Bidang yang batasnya terdiri dari dari empat buah segitiga sama sisi yang kongruen
Titik sudutnya merupakan pertemuan dari tiga buah bidang batas dan tiga buah rusuk
Karena masing-masing bidang batas merupakan segitiga sama sisi yang kongruen, maka titik berat masing- masing bidang batas tepat berimpit dengan titik tingginya. Sehingga titik berat bidang empat beraturan juga tepat berimpit dengan titik tingginya.


AM = 2/3 AD
BM = 2/3 BE
CM = 2/3 CF

BIDANG EMPAT SIKU-SIKU

Bidang empat siku-siku adalah bidang empat dengan ketiga buah rusuknya bertemu pada satu titik yang saling tegak lurus sesamanya.









                             Limas Segi Empat Beraturan
• Bujur sangkar ABCD (segi-empat beraturan) merupakan bidang alas limas. Titik O adalah titik pusat bidang alas.
• Titik T merupakan titik puncak limas
• Segitiga TAB, TBC, TCD, TAD merupakan bidang sisi tegak
• Garis TA, TB, TC, TD merupakan rusuk-rusuk tegak
• Garis AB, BC, CD, DA, merupakan rusuk-rusuk alas
• TO tegak lurus bidang alas (ABCD)
• Titik O merupakan proyeksi titik T pada bidang alas ABCD (O pusat
bidang alas). TO merupakan tinggi limas.











                        Proyeksi
PROYEKSI TITIK PADA GARIS
Proyeksi sebuah titik P pada sebuah garis g dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari titik P terhadap garis g. Perpotongan garis tegak lurus dari titik P dengan dengan garis g yaitu titik P' , disebut proyeksi titik P pada garis g. P = titik yang diproyeksikan (proyektum)
P' = titik hasil proyeksi
PP' = garis yang memproyeksikan
g = garis yang menerima proyeksi (garis
proyeksi) dan PP' g


PROYEKSI TITIK PADA BIDANG
Proyeksi sebuah titik P pada bidang V dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari P ke bidang V. Perpotongan garis lurus dari P dengan bidang V, yaitu titik P' disebut sebagai proyeksi titik P pada bidang V. P = titik yang diproyeksikan (proyektum)
P' = titik hasil proyeksi
PP' = garis yang memproyeksikan (proyektor)
V = bidang yang menerima proyeksi (bidang
proyeksikan) dan PP' V)


PROYEKSI GARIS PADA BIDANG
Proyeksi sebuah garis g pada bidang V dapat diperoleh dengan membuat proyeksi titik-titik yang terletak pada garis g ke bidang V. Selanjutnya titik-titik proyeksi ini kita hubungkan, maka diperoleh proyeksi dari garis g, yaitu g' Garis g = garis yang diproyeksikan
(proyektum)

Bidang v = bidang yang menerima
proyeksi (bidang proyeksi)

AA', BB', CC' = garis yang memproyeksi-
kan (proyektor)

Garis g' = proyeksi garis g pada bidang V

Bidang yang dibentuk oleh garis-garis proyektor yaitu bidang a disebut bidang proyektor.


GARIS TEGAK LURUS PADA SEBUAH BIDANG

• Sebuah garis tegak lurus bidang, jika garis tersebut tegak lurus dua
garis yang berpotongan pada bidang tersebut.
• Garis g tegak lurus bidang V, berarti garis g tegak lurus pada setiap
garis yang terletak pada bidang V.











                                Fakta-Fakta
FAKTA - FAKTA

Jika garis a tegak lurus pada garis g dan h yang berpotongan maka garis a tegak lurus pada bidang yang melalui kedua garis g dan h itu.
Jika dari sebuah titik P yang terletak pada garis g dibuat garis-garis k, l, m,...... yang masing-masing tegak lurus pada garis g maka garis k, l, m,.... terletak pada sebuah bidang datar yang tegak lurus pada garis g.
Jika salah satu dari dua garis (g atau h) yang sejajar, berdiri tegak lurus pada bidang a, maka garis yang lain (g tau h) akan tegak lurus pada bidang a
Jika garis g dan h masing-masing tegak lurus pada bidang a, maka garis g dan h itu adalah sejajar.
Melalui sebuah titik P yang terletak pada garis g hanya dapat dibuat sebuah bidang a yang tegak lurus pada garis g.
Melalui sebuah titik P diluar garis g, hanya dapat dibuat sebuah bidang a yang tegak lurus pada garis g.
Melalui sebuah titik P pada sebuah bidang a, hanya dapat ditarik sebuah garis g yang tegak lurus pada bidang a









                                Garis dan Bidang
Garis Terletak Pada Bidang



Garis dengan bidang mempunyai dua titik persekutuan

Garis menembus bidang



Garis dengan bidang mempunyai satu titik persekutuan

Garis sejajar bidang



Garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan






                            Jarak
Titik ke Garis



Panjang garis tegak lurus dari titik ke garis tersebut

Titik ke Bidang



Panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang tersebut










                        Sudut
Antara Dua Garis Yang Bersilangan Antara Dua Bidang

Sudut antara garis m dan n yang bersilangan adalah sudut yang dibentuk antara garis m' dan n' yang ditarik melalui sebuah titik p di dalam ruang, searah dan sejajar dengan m dan n. Sudut antara dua garis yang terletak pada masing-masing bidang tersebut. Dimana garis-garis ini tegak lurus pada garis potong dua bidang (garis tumpuan) itu; dan berpotongan di garis potong kedua bidang.
Antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang itu.










                                  Irisan Kubus Dengan Bidang Datar
Irisan kubus dengan sebuah bidang datar dapat berbentuk segitiga, segiempat, segilima, atau segienam







                                Rumus-Rumus Yang Sering Digunakan
Segitiga Siku-Siku Segitiga Sembarang

Dalil Phitagoras
c² = a² + b²
sin a = a/c
cos a = b/c
tg a = a/b
luas = 1/2 ab Dalil Cos
c² = a² + b² - 2ab cos
luas = 1/2 a.b sin
rumus perbandingan perbandingan luas

BC : DE = AB : AD = AC : AE
(AB)(CE) = (BC)(AD)










                               Luas Bidang Dihitung Dari Diagonalnya
Layang-Layang :
Dua Segitiga Sama Kami, Alasnya Berimpit



Luas = (d1 . d2) / 2
Persegi
(Bujur Sangkar)



Luas = d2/2
Belah Ketupat :
Dua Segitiga Sama Kaki Yang Sama, Alasnya Berimpit



Luas = (d1 . d2) / 2

4. Integral

                              Pengertian
INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).
Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :

ò f(x) dx = F(x) + c Þ (c = konstanta)

Integral dapat digolongkan atas :

A. Integral tak tentu (Tanpa batas)
B. Integral tertentu (Dengan batas)








                            Integral Tak Tentu
FUNGSI ALJABAR
ò xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n ¹ -1

FUNGSI TRIGONOMETRI
ò sin x dx = - cos x + c
ò cos x dx = sin x + c

sifat-sifat:
a. ò c f(x) dx = c ò f(x) dx
b. ò ( f(x) ± g(x) ) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx
c. jika ò f(x) dx = F(x) + c
maka ò f(ax) dx = 1/a F(ax) + c
ò f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c

Perluasan :
ò (ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c
ò sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
ò cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

I = ò f(x) dx
substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
I = ò f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

1. Bentuk Ö a2 - x2
misalkan x = a sin q ® q = arc sin x/a
dx = a cos q dq




ò Ö a2 - x2 dx = a ò Ö 1 - sin2q (a cos q dq)
= a2 ò cos2q dq
= ½a2 ò (1 + cos2q) dq
= ½a2 (q + sinq cosq) + c

= ½a2 ò [arc sin x + x Öa2 - x2 ] + c
a a a

ò Ö a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x Ö a2 - x2 + c


2. Bentuk ò Öa2 + b2x2
Gunakan substitusi : x = a/b tgq
dx = a/b sec2q dq

3. Bentuk ò Öb2x2 - a2
Gunakan substitusi : x = a/b secq
dx = a/b tgq sec2q


c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.

I = ò f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x) ; dv = g(x) dx
du = ..... dx ; v = ò g(x) dx = ..... maka :

ò u du = u v - ò v du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk ò v du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI









                                     Integral Tertentu
1. Pengertian

Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a a
ò c dx = c(x) ï= F(b) - F(a)
b b

2. Sifat

b b
a. ò c dx = c(x) ï = c(b - c) c = konstanta
a a

b a
b. ò f(x) dx = - ò f(x) dx c = batas ditukar
a b

a
c. ò f(x) dx = 0 c = batas sama
a

b a b
d. ò f(x) dx = ò f(x) dx + ò f(x) dx c = ( a < c < b)
a b c









                           Menghitung Luas Daerah Gambar
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) ³ 0 (grafik di atas sumbu-x) ;
sumbu -x
garis x = a ; garis x = b
b
Luas = ò f(x) dx = 0
a


2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y) ³ 0 (grafik di kanan sumbu-y)
sumbu -y ;
garis y = c ; garis y = d
d
Luas = ò g(y) dy = 0
c


b
3. Untuk y = f (x) < 0, maka ò f(x) dx < 0
a
menyatakan luas daerah yang terletak di bawah sumbu x dibatasi oleh garis x = a ; a = b. Karena luas selalu positif, maka :
b b
Luas = - ò f(x) dx = ê ò f(x) dx ê
a a


4. Jika y = f (x) pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu-x, maka luasnya merupakan jumlah dari beberapa integral tertentu.
y = f(x) memotong sumbu x di c ; a < c < b
sumbu-x ;
garis x = a ; garis x = b

c b
Luas = ê ò f(x) dx ê+ ò f(x) dx
a c


5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
y= f1(x) ; y=f2(x)
garis x = a ; garis x = b

b
Luas = ò [f1(x) - f2(x)] dx a


6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
Y = f1(x) Y = f2(x) yang berpotongan pada titik-titik yang berabsis c dan d

d
Luas = ò [f1(x) - f2(x)] dx c


HAL KHUSUS

1. Untuk luas antara dua kurva (fungsi kuadrat dengan sumbu-x ; fungsi kuadrat dengan fungsi kuadrat atau fungsi kuadrat dengan fungsi linier dapat digunakan rumus:
Luas = DÖD atau Luas = a êx1 - x2 ê 3
6a2 6
Ket. :
D = Diskriminan hasil eliminasi kedua persamaan (yang tidak disederhanakan)
a adalah koefisien a² hasil eliminasi kedua persamaan.
x1 dan x2 adalah absis titik potong kedua kurva.

2. Luas antara parabola dengan sumbu-x. Luas = 2/3 luas persegi panjang terkecil yang melingkupinya
= 2/3 (b-a)(c)




]





                       Menghitung Volume Benda Putar
1. Volume benda putar yang mengelilingi sumbu x
y = f(x) ;
garis x =a ; garis x = b ;
diputar mengelilingi sumbu -x

b
Volume = p ò (f(x))2 dx
a


2. Volume benda putar mengelilingi sumbu y

x = f(y)
garis y = c ; garis y = d ; diputar mengelilingi sumbu-y

d
Volume = p ò (f(x))2 dy
c


3. Daerah antara dua kurva diputar mengelilingi sumbu -x
y = f1(x) ; y = f2(x)
garis x = a ; garis x = b ; diputar mengelilingi sumbu -x

b
Volume = p ò {[f1(x)]2 - [f2(x)]2} dx
a


4. Daerah antar dua kurva yang berpotongan pada titik-titik dengan absis a dan b diputar mengelilingi surnbu x
y = f1(x) ; y=f2(cx)
diputar mengelilingi sumbu-x

b
Volume = p ò {[f1(x)]2 - [f2(x)]2} dx
a










                                  Menghitung Panjang Busur
1. Panjang busur kurva y = f(x) dari a = a sampai a = b b
S = p ò Ö 1 + (dy/dx)2 dx
a


2. Panjang busur kurva x = f(y) dari y = c sampai y = d d
S = p ò Ö 1 + (dx/dy)2 dy
c









                                         

3. Differensial

                         Definisi
Differensial (turunan) fungsi y = f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :

dy = l i m f(x + Dx) - f(x)
dx Dx Þ 0 Dx

(Perbandingan perubahan y yang disebabkan karena perubahan x, untuk perubahan x yang kecil sekali)

Notasi lain : df/dx = f`(x) ; y`

RUMUS - RUMUS
1. FUNGSI ALJABAR

y = xn Þ dy/dx = nxn-1
2. FUNGSI TRIGONOMETRI

y = sin x Þ dy/dx = cos x
y = cos x Þ dy/dx = - sin x
y = sin x Þ dy/dx = sec²x


Sifat - sifat :

1. y = c (c=konstanta) Þ dy/dx = 0

2. y = c U(x) Þ dy /dx = c . U`(x)

3. y = U(x) ± V(x) Þ dy /dx = U`(x) ± V`(x)

4. Bentuk perkalian
y = U(x) . V(x) Þ dy/dx = U`(x).V(x) + U(x).V`(x)

5. Bentuk pembagian
y = U(x) Þ dy = U`(x).V(x) - U(x).V`(x)
V(x) dx (V(x))²

6. Bentuk rantai
y = f(U) dan U = g(x) Þ dy/dx = dy/du .du/dx

y = (ax + b)n
dy/dx = n(ax+b)n-1(a)

y = sin (ax + b)
dy/dx = (a) cos (ax+b)

y = sinn (ax + b)
dy/dx = n sinn-1(ax+b) [a cos (ax+b)]

Ket : Untuk menyelesaikan persoalan, sifat dan rumus-rumus ini dikombinasikan








                                   Penggunaan
1. MENENTUKAN KOEFISIEN ARAN GARIS SINGGUNG
(Gradien) di titik (x1y1) pada kurva y = f(x)
m = f`(x1)


f`(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1,

Ket :
Khusus untuk jenis fungsi kuadrat. Jika titik tidak terletak pada grafik, maka gradien garis singgungnya dimisalkan dengan m yang dicari dengan menggunakan persamaan garis y - y1 = m (x - x1) disinggungkan dengan persamaan kurva y = f(x) dengan syarat D = 0 (D = diskriminan dari hasil eliminasi kedua persamaan)


2. MENENTUKAN MONOTON FUNGSI

• Fungsi y = f(x) monoton naik pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) > 0

• Fungsi y = f(x) monoton turun pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) < 0


3. MENENTUKAN TITIK STASIONER

Fungsi y = f(x) ® Syarat stasioner f'(x) = 0

JENIS - JENISNYA

STASIONER :

MAKSIMUM
Syarat : f`(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) < 0 ® Titik maksimum (xo, f(xo))

MINIMUM
Syarat : f '(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) > 0 ® Titik Minimum (xo, f(xo))

BELOK
Syarat : f '(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) = 0 ® Titik belok (xo, f(xo))

Nilai Stasioner adalah nilai fungsi di absis titik stasioner

Keterangan :
1. Untuk menentukan jenis jenis titik stasioner dapat juga dicari dengan melihat perubahan tanda disekitar titik stasioner.
Langkah :
a. Tentukan absis titik stasioner dengan syarat f '(x) = 0 ® x = xo
b. Buat garis bilangan f '(x)
c. Tentukan tanda-tanda disekitar titik stasioner dengan mensubstitusi sembarang titik pada f '(x)
d. Jenis titik stasioner ditentukan oleh perubahan tanda di sekitar
titik stasioner.



ket : f`(x) > 0 grafik naik
f`(x) > 0 grafik turun

2. Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam interval tertutup didapat dari nilai stasioner fungsi dalam interval itu atau dari nilai fungsi pada ujung - ujung interval


4. MASALAH FISIKA

Jika S(t) = Jarak (fungsi waktu)
V(t) = Kecepatan (fungsi waktu)
a(t) = Percepatan (fungsi waktu)
t = waktu

maka V = dS/dt dan a = dV/dt

5. MENYELESAIKAN MASALAH LIMIT

DALIL L'Hospital

Jika fungsi-fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada x = a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ sehingga :

lim f(x) = 0 atau lim f(x) = ¥, maka
x®a g(x) 0 x®a g(x) ¥

lim f(x) = lim f`(x) = ¥, maka
x®a g(x) x®a g`(x) ¥







                             

2. Limit

                        Pengertian Limit
Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.

CONTOH :

Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.

ditulis : l i m 2 = 0
x ® ¥ x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; ¥/¥ ; ¥-¥ ; 0,¥ (*) (bentuk tak tentu)

TEOREMA

1. Jika f(x) = c maka l i m f(x) = c
x ® a
2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku
x ® a x ® a
a. l i m [f(x) ± g(x)] = l i m f(x) ± l i m g(x) = F ± G
x ® a x ® a x ® a

b. l i m [f(x) • g(x)] = l i m f(x) • l i m g(x) = F • G
x ® a x ® a x ® a

c. l i m k • f(x) = k l i m f(x) = k • F
x ® a x ® a

l i m f(x)
d. l i m f(x) = x ® a = F
x ® a g(x) l i m g(x) G
x ® a


LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :

0/a = 0 ; a/0 = ¥ ; ¥/a = ¥ ; a/¥ = 0 ; ¥ ± a = ¥ (a = konstanta)








                      Limit Fungsi Trigonometri
KETENTUAN

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ; » setara )

l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x ® 0 x x ® 0 x

l i m x = 1 l i m x = 1
x ® 0 sin x x ® 0 tg x

PERLUASAN

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 bx x ® 0 bx

l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx


l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x


HAL-HAL KHUSUS
l i m axm + bxm-1 + .... =
x ® ¥ pxn + qxn-1 + ... ¥ untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n

l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f
x ® ¥ ¥ untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥ untuk a < d


Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3

2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2

atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10

atau langsung gunakan hal khusus


4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial



6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial



7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥

l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar

l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3

atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0

sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3

2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0

1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x

3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0

2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0

2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )

cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial









                              

1. Trigonometri

                               Pengertian Trigonometri               Menu Matematika Kelas 3

PENGERTIANPada segitiga siku-siku berlaku dalil phitagoras. Sin a  = a/c Cos a = b/c tg a   = a/b cosec a = c/a sec a      = c/b ctg a    = b/a HUBUNGAN-HUBUNGAN ctg a    = 1/tg a sec a    = 1/cos a cosec a = 1/sin a tg a = sin a / cos a sin2 a + cos2 a = 1 tg2 a + 1 = sec2 a

Pengukuran Sudut  Satu radian (ditulis 1 rad) adalah besar sudut dari suatu putaran yang panjang busurnya soma dengan jari-jari, lingkaran. 2p rad = 360° p rad  = 180° 1 rad  = 57,29° KUADRAN TANDA-TANDA FUNGSI Kuadran I 0° - 90° II 90° - 180° III 180° - 270° IV 270° - 360° Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -                            Sudut Istimewa SUDUT ISTIMEWA           0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° sin 0 1/2 ½ Ö2 ½ Ö3 1 0 -1 0 cos 1 ½ Ö3 ½ Ö2 1/2 0 -1 0 1 tan 0 1/3 Ö3 1 Ö3 ~ 0 ~ 0 Sudut (90 - a) sin (90 - a) = Cos a Cos (90 - a) = sin a  tan (90 - a) = cot a Sudut (90 + a) sin (90 + a) = Cos a Cos (90 + a) = - sin a  tan (90 + a) = - cot a Sudut (180 - a)sin (180 - a) = sin a  Cos (180 - a) = - Cos a  tan (180 - a) = - tan a Sudut (180 + a)sin (180+a) = -sina  Cos (180 + a) = - Cos a tan (180 + a) = tan a Sudut (270 - a) sin (270 - a) = - Cos a cos (270 - a) = - sin a  tan (270 - a) = ctg a Sudut (270 + a) sin (270 + a) = -cos a cos (270 + a) = sin a tan (270 + a) = - cot a Sudut (360 - a) sin (360 - a) = - sin a  Cos (360 - a) = Cos a tan (360 - a) = - tan a Sudut (360 + a) sin (360 + a) = sin a  Cos (360 + a) = Cos a tan (360 + a) = tan a Sudut Negatif sin (-a)  = - sin a Cos (-a) = Cos a tan (-a) = - tan a Sudut negatif dihitung searah dengan jarum jam.Tanda pada sudut negatif sesuai dengan tanda pada kuadran ke IV. Keterangan : Untuk a sudut lancip Kuadran Hubungan I a atau (90 - a) II (180 - a) (90 + a) III (180 + a) (270 - a) IV (360 - a) (270 + a) RINGKASAN Sudut (180 ± a) ; (360 ± a) ® FUNGSI TETAP, tanda sesuai dengan                                           kuadran Sudut (90 ± a) ; (270 ± a)    ® FUNGSI BERUBAH, tanda sesuai dengan                                         kuadran                                  Grafik Fungsi  GRAFIK FUNGSI y = sin x• Periode 360° • Batas nilai : - 1 £ sin x £ 1 y = cos x • Periode 360° • Batas nilai : - 1 £ cos x £ 1 y = tan x • Periode 180°• Batas nilai : -¥ £ tan x £ ¥ PERLUASAN           CONTOH UNTUK GRAFIK SINUS y = a sin nx         • periode 360°/n • batas nilai -a £ a sin nx £ a PERGESERAN GRAFIK y = a sin (nx - q)      Didapat dengan menggeser grafik y = a sin nx sejauh q/n ke kanan (-) / ke kiri (+) y = a sin nx + c        Didapat dengan menggeser grafik y = a sin nx sejauh c satuan ke atas (+) / ke bawah (-) Contoh : y = 3 sin 2x • Periode 180°  • Batas nilai -3 £ 3 sin 2x £ 3 y = 3 sin (2x - 60°)  • Didapat dari grafik y = 3 sin 2x   digeser ke kanan 30° • Periode 180°  • Batas nilai : -3 £ 3 sin (2x - 60°) £3 y = 3 sin 2x + 2  • Didapat dari grafik y = 3 sin 2x   digeser 2 satuan ke atas • Periode 180° • Batas nilai : -1 £ 3 sin 2x + 2 £ 5                                   Dalil-Dalil Dalam Segitiga DALIL SINUS   a   =   b   =   c   sin a   sin b   sin d LUAS SEGITIGA a² = b² + c² - 2 bc cos a b² = a² + c² - 2 ac cos b c² = a² + b² - 2 ab cos d DALIL COSINUS Luas = ½ ab sin d = ½ ac b= ½ bc a Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui :                                 L  = Ö(s(s-a)(s-b)(s-c)) s  = setengah keliling segitiga    = ½ (a+b+c)LINGKARAN DALAM, LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN SINGGUNG SUATU SEGITIGA 1. Lingkaran Dalam Segitiga Lingkaran L1 menyinggung sisi-sisi segitiga ABC, titik pusat lingkaran dalamdidapat dari perpotongan garis bagi-garis bagi sudut segitiga ABC. Hubungan :                                        rd = Ö[(s-a)(s-b)(s-c)]/s 2. Lingkaran Luar Segitiga Lingkaran L2 melalui titik-titik sudut segitiga ABC, titik pusat lingkaran luardidapat dari perpotongan garis-garis berat segitiga ABC. Hubungan : rL =    a     =    b    =     c             sin a      sin b     sin d rL =                abc                                        4 Ö[s(s-a)(s-b)(s-c)] 3. Lingkaran Singgung Segitiga Lingkaran L3 menyinggung sisi BC, menyinggung garis BP (BP adalah perpanjangan sisi AB) dan menyinggung garis CQ (CQ adalah perpanjangan sisi AC). Titik pusat lingkaran berada diluar segitiga ABC. Titik pusat lingkaran singgung didapat dari perpotongan garis bagi dalamsudut A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C. Terdapat tigalingkaran singgung yaitu: menyinggung sisi AB, menyinggung sisi BC danmenyinggung sisi AC. Hubungan : rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC                             = Ö s(s-b)(s-c)                    (s-a)rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC                            = Ö s(s-a)(s-c)                    (s-b)rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB                            = Ö s(s-a)(s-b)                    (s-c)                            Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub Suatu Titik Koordinat Cartesius titik P(xp , yp)  Koordinat Kutub titik P (r, q)r = jarak titik O ke P a = sudut yang dibentuk antara garis       hubung OP dengan sumbu x(+) Terdapat hubungan Kutub ® Cartesius (r,q) Þ xp = r cos q yp = r sin q Cartesius ® Kutub                                (xp,yp) Þ = Öxp2 + yp2 tg q = yp/xp Þ q = ?                            Rumus-Rumus Trigonometri  PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b) sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin bcos(a + b) = cos a cos b - sin a sin btg(a + b )   = tg a + tg b                  1 - tg2a  SELISIH DUA SUDUT (a - b) sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin bcos(a - b) = cos a cos b + sin a sin btg(a - b )   = tg a - tg b                  1 + tg2a  SUDUT RANGKAPsin 2a  = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a - sin2 a  = 2 cos2a - 1  = 1 - 2 sin2a tg 2a  =  2 tg 2a              1 - tg2a sin a cos a = ½ sin 2a cos2a = ½(1 + cos 2a) sin2a  = ½ (1 - cos 2a) Secara umum : sin na  = 2 sin ½na cos ½na cos na = cos2 ½na - 1 = 2 cos2 ½na - 1 = 1 - 2 sin2 ½na tg na =   2 tg ½na              1 - tg2 ½na JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b                                 2              2 sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b                                 2             2 cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b                                  2              2 cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b                                   2             2 BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN  2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b) PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA Bentuk a cos x + b sin x Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a) a cos x + b sin x = K cos (x-a) dengan :                                   K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ? Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut I II III IV a + - - + b + + - - keterangan : a = koefisien cos x b = koefisien sin x PERSAMAAN I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°                          x2 = (180° - a) + n.360°     cos x = cos a Þ x = ± a + n.360° tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat) II. a cos x + b sin x = c      a cos x + b sin x = C             K cos (x-a) = C                cos (x-a) = C/K     syarat persamaan ini dapat diselesaikan      -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar) misalkan C/K = cos b   cos (x - a) = cos b         (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°                         Melukis Grafik  y = a cos x + b sin xa cos x + b sin x = K cos (x - a)Maksimum = K ® bila cos (x - a) = 1                                cos (x - a) = cos 0°                                            ® untuk x = a + n.360°Minimum = -K ® bila cos (x - a) = -1                               cos (x - a) = cos 180°                          ® untuk x = a ± 180° + n.360° NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x) y = 0   ® bila cos (x-a) = 0                     cos (x-a) = cos 90°                  ® untuk x = a ± 90° + n360° grafik dibuat berdasarkan data-data diatas