Operasi Matriks
PENJUMLAHAN MATRIKS
Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama).
A
|
+
|
B
|
=
| A + B |
é a b  ù
ë c d û
|
é p q ù
ë r s û
| é a + p b + q ù
ë c + r d + s û |
PENGURANGAN MATRIKS
Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B.
A - B = A + (-B)
A
|
-
|
B
|
=
| A - B |
é a b ù
ë c d û
|
é p q ù
ë r s û
| é a - p b - q ù
ë c - r d - s û |
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.
| A = | é a b ù
ë c d û | ® k A = | é ka kb ù
ë kc kd û |
|
Perkalian Dua Matriks
|
|
Matriks Satuan dan Matriks Invers
MATRIKS SATUAN
adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.
Notasi : I (Identitas)
| I2 = | é 1 0 ù
ë 0 1 û | I3 = | é 1 0 1 ù
ê 0 1 0 ú
ë 0 0 1 û |
|
Sifat AI = IA = A
MATRIKS INVERS
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama danAB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1).
Jika A = é a b ù , maka A-1 = 1 = é d -b ù
Jika A = ë c d û , maka A-1 = ad - bc ttt ë -c a û
- Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
- Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.
Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.
Sifat A . A-1 = A-1 . A = I
Perluasan
A . B = I ® A = B-1 B = A-1
A . B = C ® A = C . B-1 B = A-1 . C
Sifat-Sifat
1. (At)t = A
2. (A + B)t = At + Bt
3. (A . B)t = Bt . At
4. (A-t)-t = A
5. (A . B)-1 = B-1 . A-1
6. A . B = C ® |A| . |B| = |C|
|
Determinan Matriks
Jika A2x2 = é a b ù , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai
Jika A2x2 = ë c d û
+
|A| = ad - bc
- - -
Jika A3x3 = é a b c ù a b
Jika A3x3 = ê d e f ú d e
Jika A3x3 = ë g h i û g h
+ + +
maka determinan matriks A didefinisikan sebagai
|A| = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb
Keterangan:
Untuk menghitung determinan A3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama.
|A| =a ½ e f ½ - b ½ d f ½ + c ½ d e ½ = aei-afh-bdi+bfg+cdh-cge
½ h i ½ ½ g i ½ ½ g h ½
|
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear
ax + by = p ditulis
cx + dy = q
A X B
é a b ù é x ù = é p ù
ë c d û ë y û = ë q û
AX = B , maka X = A-1 . B
- Cara Matriks
é x ù = 1 = é d -b ù é p ù
ë y û ad - bc ë -c a û ë q û
- Cara Determinan = =
| x = |
Dx
| ê p b ú
ê q d ú |
Dy
| ê a p ú
ê c q ú |
————— =
| —————— | ; y = ———— = | —————— |
D
| ê a b ú
ê c d ú |
D
| ê a b ú
ê c d ú |
|
Transformasi Geometri
Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban.
- TRANSLASI (Pergeseran sejajar)
Matriks
|
Perubahan
|
Perubahan
|
é a ù
ë bû
|
(x,y) ® (x+a, y+b)
|
F(x,y) = 0 ® (x-a, y-b) = 0
|
Ket :
x' = x + a ® x = x' - a
y' = y + b ® y = y' -b
|
Sifat:
- Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan
ë b û
dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù
ë d û ë b + d û
- Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
- REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)
Pencerminan terhadap
|
Matriks
|
Perubahan Titik
|
Perubahan fungsi
|
sumbu-x
|
é 1 -0 ù
ë 0 -1 û
|
(x,y) ® (x,-y)
|
F(x,y) = 0 ®F(x,-y) = 0
|
sumbu -y
|
é -1 0 ù
ë -0 1 û
|
(x,y) ® (-x,y)
|
F(x,y) = 0 ®F(-x,y) = 0
|
garis y = x
|
é 0 1 ù
ë 1 0 û
|
(x,y) ® (y,x)
|
F(x,y) = 0 ®F(y,x) = 0
|
garis y = -x
|
é -0 -1 ù
ë -1 -0 û
|
(x,y) ® (-y,-x)
|
F(x,y) = 0 ®F(-y,-x)= 0
|
Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
SIFAT-SIFAT
- Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
- Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
- Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
- Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
- Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
- Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
- Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
- Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
- Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
- ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)
rotasi
|
matriks
|
perubahan titik
|
perubahan fungsi
|
½ p
|
é0 -1ù
ë1 -0 û
|
(x,y) ® (-y,x)
|
F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0
|
p
|
é-1 0ù
ë1 -1 û
|
(x,y) ® (-x,-y)
|
F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0
|
3/2 p
|
é0 -1ù
ë-1 0 û
|
(x,y) ® (y,-x)
|
F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0
|
q
| écosq -sinq ù
ësinq cosq û |
(x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q)
F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0
|
Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1
SIFAT-SIFAT
- Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
- Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
- DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)
Dilatasi
|
Matriks
|
Perubahan titik
|
Perubahan fungsi
|
(0,k)
|
ék 0ù
ë0 kû
|
(x,y)®(kx,ky)
|
F(x,y)=0®F(x/k,y/k)
|
Ket.:
(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.
Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OAb. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan Ac. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO
- TRANSFORMASI LINIER
Ditentukan oleh matriks éa bù
ëc dû
é x' ù = é a b ù é x ù
ë y' û ë c d û ë y û
é x ù = 1 é a -b ù é x' ù
ë y û ad - bc ë -c d û ë y' û
Perubahan Titik
|
Perubahan Fungsi
|
(x,y)®(ax+by, cx+dy)
|
F(x,y)=0 ® édx - by , -cx + ay ù
ëad - bc ad - bc û
|
Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.
|
Komposisi Transfromasi dan Transformasi Invers
KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika A = é a b ù adalah T1 dan B = é e f ù adalah T2
ttt ë c d û ë g hû
maka T2 ° T1 = BA = é e f ù é a b ù
ë g hûë c d û
® menyatakan transformasi T1 dilanjutkan dengan T2
TRANSFORMASI INVERS
Jika suatu transformasi diwakili oleh matriks M, memetakan titik P ke P1, maka transformasi ini memetakan P1 ke P, diwakili oleh matriks M-1(yaitu jika M-1 ada).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar