2. Logaritma

                                  Batasan dan Sifat-Sifat

BATASAN Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b. a log b = c ® ac = b ® mencari pangkat  Ket : a = bilangan pokok    (a > 0 dan a ¹ 1)         b = numerus            (b > 0)         c = hasil logaritma Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa : alog a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n SIFAT-SIFAT 1. alog bc = alogb + alogc 2. alog bc = c alog b 3. alog b/c = alog b -alog c ® Hubungan alog b/c = - a log b/c 4. alog b = (clog b)/(clog a) ® Hubungan alog b = 1 / blog a 5. alog b. blog c = a log c 6. a alog b = b 7. alog b = c ® aplog bp = c ® Hubungan : aqlog bp = alog bp/q                                                                        = p/q alog b Keterangan: Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10. [ log 7 maksudnya 10log 7 ] lognx adalah cara penulisan untuk (logx)nBedakan dengan log xn = n log x Contoh: Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan ! syarat : numerus > 0 x² -4x - 5 < 0 (x-5)(x+1) < 0 -1 < x < 5 Sederhanakan    2 3log 1/9 + 4log 2     =      2(-2) + 1/2          = 3log 2. 2log 5 .52log 3        3log 2.2log 5. 5²log3  - 3 1/2                       =   -3 1/2    = -7 3log 31/2                            1/2  Jika 9log 8 = n   Tentukan nilai dari 4log 3 ! 9log 8 = n 3²log 2³ = n 3/2 3log 2 = n 3log 2 = 2n              3 4log 3 = 2²log 3          = 1/2 ²log 3          = 1/2 ( 1/(³log 2) )          = 1/2 (3 / 2n)          = 3/4n  Jika log (a² / b4)      Tentukan nilai dari log ³Ö(b²/a) ! log (a²/b4) log (a/b²)² 2 log ( a/b²) log ( a/b² ) log ³Ö(b²/a) = -24 = -24 = -24 = -12 = log (b²/a)1/3 = 1/3 log (b² / a) = -1/3 log (a/b²) = -1/3 (-12) = 4

Persamaan Logaritma  Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerusataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x. Masalah : Menghilangkan logaritma alog f(x) = alog g(x) ® f(x) = g(x) alog f(x) = b ® f(x) =ab f(x)log a = b ® (f(x))b = a Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ¹ 1 dan numerus > 0 ) Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ! xlog 1/100 = -1/8 x-1/8 = 10-2 (x -1/8) -8 = (10-2)-8 x = 10 16 xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6 xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6 4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6 3 xlog 3 = 6 xlog 3 = 2 x² = 3 ® x = Ö3 (x>0) xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0 xlog(x+12) - xlog 4³ = -1 xlog ((x+12)/4³) = -1 (x+12)/4³ = 1/x x² + 12x - 64 = 0 (x + 16)(x - 4) = 0 x = -16 (TM) ; x = 4 ²log²x - 2 ²logx - 3 = 0 misal :   ²log x = p p² - 2p - 3 = 0 (p-3)(p+1) = 0 p1 = 3 ²log x = 3 x1 = 2³ = 8 p2 = -1 ²log x = -1 x2 = 2-1 = 1/2                                  Pertidaksamaan Logaritma  Bilangan pokok a > 0 ¹ 1 Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a > 1 0 < a < 1 a log f(x) > b ® f(x) > ab a log f(x) < b ® f(x) < ab (tanda tetap) a log f(x) > b ® f(x) < ab a log f(x) < b ® f(x) > ab (tanda berubah) syarat f(x) > 0 Contoh: Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan ²log(x² - 2x) < 3 a = 2 (a>1) ® Hilangkan log ® Tanda tetap - 2 < x < 0 atau 2 < x < 4 x² - 2x < 2³ x² - 2x -8 < 0 (x-4)(x+2) < 0 -2 < x < 4 syarat : x² - 2 > 0 x(x-2) > 0 x < 0 atau x > 2 1/2log (x² - 3) < 0 a = 1/2 (0 < a < 1) ® Hilangkan log ® Tanda berubah x < - 2 atau x > 2 (x² - 3) > (1/2)0 x² - 4 > 0 (x -2)(x + 2) < 0 x < -2 atau x > 2 syarat : x² - 3 > 0 (x - Ö3)(x + Ö3) > 0 x < Ö3 atau x > Ö3