5. Barisan Dan Deret

                                Barisan

BARISAN adalah urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu. 
Suku-suku suatu barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan bilangan asli (n = natural = asli)

Contoh:

1. Un = 2n - 1
   adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n Î N = {1,2,3,.....}
   Barisan itu adalah : 1,3,5,7,....
   
   
2. Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9
   Rumus suku ke-n barisan ini adalah U_n = 1/3n

                      Barisan dan Deret Aritmatika (Hitung / Tambah)

BARISAN ARITMATIKA U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1  Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b                                       U1, U2,   U3 ............., Un Rumus Suku ke-n : Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n DERET ARITMATIKA a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika. a = suku awal b = beda n = banyak suku Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n Jumlah n suku Sn = 1/2 n(a+Un)       = 1/2 n[2a+(n-1)b]       = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n) Keterangan: Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn") Barisan aritmatika akan naik jika b > 0 Barisan aritmatika akan turun jika b < 0 Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn" Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)          dst. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

Barisan dan Deret Geometri (Ukur / Kali) BARISAN GEOMETRI U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r) Rasio r = Un / Un-1 Suku ke-n barisan geometri a, ar, ar² , .......arn-1 U1, U2, U3,......,Un Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n) DERET GEOMETRI a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri a = suku awal r = rasio n = banyak suku Jumlah n suku Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1       = a(1-rn)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n) Keterangan: Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku  Un > Un-1 Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku Un < Un-1 Bergantian naik turun, jika r < 0 Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah           _______      __________ Ut = Ö U1xUn    = Ö U2 X Un-1      dst.    Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar DERET GEOMETRI TAK BERHINGGADeret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1 + U2 + U3 + .............................. ¥ å Un = a + ar + ar² ......................... n=1  dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0 Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat : Jumlah tak berhingga    S¥ = a/(1-r) Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1 Catatan: a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil a+ar2 +ar4+ .......                     Sganjil = a / (1-r²)Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + ......                  Sgenap = ar / 1 -r²  Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r PENGGUNAAN Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal) M0, M1, M2, ............., Mn M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0 M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0 . . . . Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0 Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir) M0, M1, M2, .........., Mn M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0 M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0      = (1 + P/100)² M0. . . Mn = {1 + P/100}n M0 Keterangan : M0 = Modal awalMn = Modal setelah n periodep   = Persen per periode atau suku bungan   = Banyaknya periode Catatan: Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).