5. Gradien Dan Persamaan Garis Lurus

                                 Gradien

Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk              y = mx + n       (eksplisit) dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b ¹ 0) Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik         garis lurus. m disebut koefisien arah (gradien) garis m = tan a , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam) 0° < a < 90° ® tan a = + 90° < a < 180° ® tan a = - n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat

Kemungkinan Kedudukan Garis Berdasarkan Nilai m dan n y = mx + n m > 0 m < 0 m = 0 arah ke kanan membentuk arah ke kiri membentuk sudut tumpul sejajar sumbu x n > 0 n < 0 n = 0 memotong sumbu y di atas memotong sumbu y di bawah melalui (0,0)                            Melukis Grafik Garis Lurus Cukup dengan menentukan 2 buah titik sembarang yang terletak pada grafik tersebut, kemudian dihubungkan (biasanya kedua titik ini adalah titik-titik potong dengan masing-masing sumbu). contoh: Gambarkan grafik 2x + 3y - 6 = 0 Titik potong dengan sumbu x ® y = 0 ; 2x + 3(0) - 6 = 0 ® x = 3® (3,0) Titik potong dengan sumby y ® x = 0 ; 2(0) + 3y - 6 = 0 ® y = 2® (0,2) Ket: Untuk mengetahui apakah suatu titik terletak pada suatu garis adalah dengan cara mensubstitusi koordinat titik tersebut ke persamaan garis. Bila memenuhi persamaan berarti titik tersebut terletak pada garis. Dengan perkataan lain bila suatu titik terletak pada suatu garis, maka koordinat titik tersebut memenuhi persamaan garis (dapat menggantikan variabelnya yang bersesuaian).                             Kedudukan Dua Buah Garis Kedudukan 2 buah garis ditentukan oleh kemungkinan sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut. g1 : y = m1x + n1 ® m1 = tan a g2 : y = mx2 + n2 ® m2 = tan b  q : sudut yang dibentuk kedua garis q = (a - b) dengan menggunakan rumus tangens, didapat : tan q = |(m1-m2)/(1+m1m2)| Ket : Sudut yang dibentuk antara dua buah garis yang berpotongan, selalu dimaksudkan sebagai sudut lancip antara kedua garis tersebut. Karena tangens q harus bernilai positif (sudut lancip) maka rumusnya menggunakan tanda mutlak. Dari rumus di atas dapat ditentukan bahwa kedua garis akan : Kedudukan Garis Bentuk Eksplisit y = m1x + n1 y = m2x + n2 Bentuk Implisit ax + by + c = 0 px + qy + r = 0 Berpotongan m1 ¹ m2 a/p ¹ b/q Sejajar m1 = m2 dan n1 ¹ n2 a/p = b/q ¹ c/r Tegak lurus m1.m2 = -1 (ap/bq) = -1 Berimpit m1= m2 dan n1=n2 a/p = b/q = c/r                                   Bentuk-Bentuk Persamaan Garis 1.Bentuk umum    ax + by + c = 0 atau y = mx + n 2. Persamaan sumbu x            ® y = 0 3. Persamaan sumbu y    ® x = 0 4. Sejajar sumbu x ® y = k 5. Sejajar sumbu y ® x = k 6. Melalui titik asal dengan gradien m     y = mx 7. Melalui titik (x1,y1) dengan     gradien m     y -y1 = m (x - x1) 8. Melalui potongan dengan sumbu     di titik (a,0) dan (0,b)     bx + ay = ab 9. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)     (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)     y-y1 = ((y2-y1)/(x2-x1))(x-x1) ket : Persamaan (9) didapat dari persamaan (7) dengan mengganti m=(y2-y1)/(x2-x1) Garis ini mempunyai gradien m = (y2-y1)/(x2-x1)                     Jarak Dua Buah Titik, Koordinat Titik Tengah, dan Jarak Titik Ke Garis Jarak Dua Buah Titik Jarak antara titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2) AB = Ö((x1-x2)²+(y1-y2)²) Koordinat Titik Tengah Koordinat titik tengah antara titik A(x1,y2) dan titik B(x2,y2) XT = (x1+x2)/2 YT = (y1+y2)/2 Jarak Titik Ke Garis Jarak titik A(x1,y1) ke garis g : ax + by + c = 0 d = |(ax1+by1+c)/Ö(a²+b²)| Ket : Untuk menentukan jarak antara dua buah garis sejajar, pertama tentukan sembarang titik yang terletak pada salah satu garis, kemudian nyatakan jarak titik ini ke garis yang lain. Atau gunakan rumus jadi : Jarak dua garis sejajar ax + by + c1 = 0 dan ax + by +c2 = 0 adalah d = |(c1-c2)/Ö(a²+b²)| Penggunaan : Luas segitiga = ½ (alas X tinggi) (alas = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis Luas bujur sangkar = sisi X sisi (sisi = jarak 2 titik atau jarak titik ke garis Luas Trapesium = ½ (jumlah sisi sejajar X tinggi) (sisi sejajar = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis)                             Istilah-Istilah Garis Dalam Segitiga Garis Bagi Garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan membagi sudutnya menjadi 2 bagian sama besar Garis tinggi Garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan tegak lurus sisi dihadapannya Garis berat Garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan membagi sisi dihadapannya menjadi dua bagian sama besar Garis Sumbu Garis yang membagi suatu sisi menjadi dua bagian sama besar dan tegak lurus pada sisi itu. PERGESERAN GRAFIK Fungsi asal y = f(x) Geser a satuan Fungsi Baru Kekanan y = f(x-a) Kekiri y = f(x+a) Keatas (y-a) = f(x) ® y = f(x) + a Kebawah (y+a) = f(x) ® y = f(x) -a Ket : rumusan pergeseran ini berlaku untuk sembarang grafik, seperti : garis lurus, parabola, lingkaran dsb. contoh : garis melalui (0,0) ® y = mx Parabola berpuncak di (0,0) ® y = x² garis melalui (x1, y1) ® y-y1 = m(x-x1) Parabola berpuncak di (xp,yp) ® y-yp = a(x-xp)² y = a(x-xp)² + yp