Permutasi
Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc,acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur.
Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis 3P3 = 6
Secara Umum
Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :
nPk = n! / (n-k) !
Contoh:
Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
Permutasi Siklis
Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan.
Contoh:
Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
|
Kombinasi
Kombinasi k unsur dari n unsur adalah pemilihan k unsur dari n unsur itu tanpa memperhatikun urutannya.
nCk = n! / k!(n-k)!
Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd.
Contoh:
Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih.Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehinggaa. Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih.b. Keempat bola tersebut warnanya lama.
Jawab:
- Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada 6C2 cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada 5C2 cara.
Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: 6C2 . 5C2 ® = 150 cara.
- 4 bola warna lama, jadi semua merah atau semua putih.
Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada 6C4 cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada 5C6 cara. Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya lama: 6C4 + 5C4 =15 + 5 = 20 cara.
|
Binonium Newton
Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus :
(x+y)n = nC0Xn + nC1Xn-1y + ....... + nCnyn
Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap.
nCo = 1
nC1 = n!/1!(n-1)! = n
nC2 = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2
nCn-1 = nC1 = n/1 = n
nCn = 1
Catatan:
- banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1
- rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :
n n
(x+y)n = å nCk xn-k yk = å (n! / k! (n-k)!) xn-k yk
k=0 k=0
- Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal
|
Peluang Kejadian
DEFINISI
Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.
P(A) = k / n
Dimana
k : jumlah terjadinya kejadian A
n : jumlah seluruh yang mungkin
Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebutRuang Sampel
Contoh:
1. Percobaan melempar uang logam 3 kali. A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut. Maka :
S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
A = {mmb, bmm}
n(S) = 23 = 8
n(A) = 2
P(A) = 2/8 = 1/4
2. Percobaan melempar dadu satu kali. A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap. Maka :
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {2,4,6}
n(S) = 6
n(A) = 3
P(A) = 3/6 = 1/2
Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku
_
P(A) + P(A) = 1
Contoh:
Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?
Jawab:
P (King) = 4/52 = 1/13
P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13
|
Peluang Kejadian Bebas dan Tak Bebas
DEFINISI
Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika
P(AÇB) = P(A). P(B)
Contoh:
Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.a) Keduanya berwarna putihb) Keduanya berwama hitam
Jawab:
Misal
A = bola putih dari tas IB = bola putih dari tas II
P(A) = 4/6
P(B) = 3/8
_ _
P(A) = 2/6 P(B) = 5/8
a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
_ _ _ _
b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24
DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku :
P (AUB) = P(A) + P(B)
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).
Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
n(S) - (6)2 = 36
A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)} n(A) = 5
B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)} n(B) = 3
P(A) = 5/36 P(B) = 3/36
AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ®
{ (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
n(AUB) = 8
P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang saling asing.
DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)
Contoh:
Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil = { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima = {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6
P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang tidak saling asing.
|
|
|
|
|
|
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar