1. Trigonometri

                               Pengertian Trigonometri               Menu Matematika Kelas 3

PENGERTIANPada segitiga siku-siku berlaku dalil phitagoras. Sin a  = a/c Cos a = b/c tg a   = a/b cosec a = c/a sec a      = c/b ctg a    = b/a HUBUNGAN-HUBUNGAN ctg a    = 1/tg a sec a    = 1/cos a cosec a = 1/sin a tg a = sin a / cos a sin2 a + cos2 a = 1 tg2 a + 1 = sec2 a

Pengukuran Sudut  Satu radian (ditulis 1 rad) adalah besar sudut dari suatu putaran yang panjang busurnya soma dengan jari-jari, lingkaran. 2p rad = 360° p rad  = 180° 1 rad  = 57,29° KUADRAN TANDA-TANDA FUNGSI Kuadran I 0° - 90° II 90° - 180° III 180° - 270° IV 270° - 360° Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -                            Sudut Istimewa SUDUT ISTIMEWA           0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° sin 0 1/2 ½ Ö2 ½ Ö3 1 0 -1 0 cos 1 ½ Ö3 ½ Ö2 1/2 0 -1 0 1 tan 0 1/3 Ö3 1 Ö3 ~ 0 ~ 0 Sudut (90 - a) sin (90 - a) = Cos a Cos (90 - a) = sin a  tan (90 - a) = cot a Sudut (90 + a) sin (90 + a) = Cos a Cos (90 + a) = - sin a  tan (90 + a) = - cot a Sudut (180 - a)sin (180 - a) = sin a  Cos (180 - a) = - Cos a  tan (180 - a) = - tan a Sudut (180 + a)sin (180+a) = -sina  Cos (180 + a) = - Cos a tan (180 + a) = tan a Sudut (270 - a) sin (270 - a) = - Cos a cos (270 - a) = - sin a  tan (270 - a) = ctg a Sudut (270 + a) sin (270 + a) = -cos a cos (270 + a) = sin a tan (270 + a) = - cot a Sudut (360 - a) sin (360 - a) = - sin a  Cos (360 - a) = Cos a tan (360 - a) = - tan a Sudut (360 + a) sin (360 + a) = sin a  Cos (360 + a) = Cos a tan (360 + a) = tan a Sudut Negatif sin (-a)  = - sin a Cos (-a) = Cos a tan (-a) = - tan a Sudut negatif dihitung searah dengan jarum jam.Tanda pada sudut negatif sesuai dengan tanda pada kuadran ke IV. Keterangan : Untuk a sudut lancip Kuadran Hubungan I a atau (90 - a) II (180 - a) (90 + a) III (180 + a) (270 - a) IV (360 - a) (270 + a) RINGKASAN Sudut (180 ± a) ; (360 ± a) ® FUNGSI TETAP, tanda sesuai dengan                                           kuadran Sudut (90 ± a) ; (270 ± a)    ® FUNGSI BERUBAH, tanda sesuai dengan                                         kuadran                                  Grafik Fungsi  GRAFIK FUNGSI y = sin x• Periode 360° • Batas nilai : - 1 £ sin x £ 1 y = cos x • Periode 360° • Batas nilai : - 1 £ cos x £ 1 y = tan x • Periode 180°• Batas nilai : -¥ £ tan x £ ¥ PERLUASAN           CONTOH UNTUK GRAFIK SINUS y = a sin nx         • periode 360°/n • batas nilai -a £ a sin nx £ a PERGESERAN GRAFIK y = a sin (nx - q)      Didapat dengan menggeser grafik y = a sin nx sejauh q/n ke kanan (-) / ke kiri (+) y = a sin nx + c        Didapat dengan menggeser grafik y = a sin nx sejauh c satuan ke atas (+) / ke bawah (-) Contoh : y = 3 sin 2x • Periode 180°  • Batas nilai -3 £ 3 sin 2x £ 3 y = 3 sin (2x - 60°)  • Didapat dari grafik y = 3 sin 2x   digeser ke kanan 30° • Periode 180°  • Batas nilai : -3 £ 3 sin (2x - 60°) £3 y = 3 sin 2x + 2  • Didapat dari grafik y = 3 sin 2x   digeser 2 satuan ke atas • Periode 180° • Batas nilai : -1 £ 3 sin 2x + 2 £ 5                                   Dalil-Dalil Dalam Segitiga DALIL SINUS   a   =   b   =   c   sin a   sin b   sin d LUAS SEGITIGA a² = b² + c² - 2 bc cos a b² = a² + c² - 2 ac cos b c² = a² + b² - 2 ab cos d DALIL COSINUS Luas = ½ ab sin d = ½ ac b= ½ bc a Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui :                                 L  = Ö(s(s-a)(s-b)(s-c)) s  = setengah keliling segitiga    = ½ (a+b+c)LINGKARAN DALAM, LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN SINGGUNG SUATU SEGITIGA 1. Lingkaran Dalam Segitiga Lingkaran L1 menyinggung sisi-sisi segitiga ABC, titik pusat lingkaran dalamdidapat dari perpotongan garis bagi-garis bagi sudut segitiga ABC. Hubungan :                                        rd = Ö[(s-a)(s-b)(s-c)]/s 2. Lingkaran Luar Segitiga Lingkaran L2 melalui titik-titik sudut segitiga ABC, titik pusat lingkaran luardidapat dari perpotongan garis-garis berat segitiga ABC. Hubungan : rL =    a     =    b    =     c             sin a      sin b     sin d rL =                abc                                        4 Ö[s(s-a)(s-b)(s-c)] 3. Lingkaran Singgung Segitiga Lingkaran L3 menyinggung sisi BC, menyinggung garis BP (BP adalah perpanjangan sisi AB) dan menyinggung garis CQ (CQ adalah perpanjangan sisi AC). Titik pusat lingkaran berada diluar segitiga ABC. Titik pusat lingkaran singgung didapat dari perpotongan garis bagi dalamsudut A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C. Terdapat tigalingkaran singgung yaitu: menyinggung sisi AB, menyinggung sisi BC danmenyinggung sisi AC. Hubungan : rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC                             = Ö s(s-b)(s-c)                    (s-a)rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC                            = Ö s(s-a)(s-c)                    (s-b)rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB                            = Ö s(s-a)(s-b)                    (s-c)                            Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub Suatu Titik Koordinat Cartesius titik P(xp , yp)  Koordinat Kutub titik P (r, q)r = jarak titik O ke P a = sudut yang dibentuk antara garis       hubung OP dengan sumbu x(+) Terdapat hubungan Kutub ® Cartesius (r,q) Þ xp = r cos q yp = r sin q Cartesius ® Kutub                                (xp,yp) Þ = Öxp2 + yp2 tg q = yp/xp Þ q = ?                            Rumus-Rumus Trigonometri  PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b) sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin bcos(a + b) = cos a cos b - sin a sin btg(a + b )   = tg a + tg b                  1 - tg2a  SELISIH DUA SUDUT (a - b) sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin bcos(a - b) = cos a cos b + sin a sin btg(a - b )   = tg a - tg b                  1 + tg2a  SUDUT RANGKAPsin 2a  = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a - sin2 a  = 2 cos2a - 1  = 1 - 2 sin2a tg 2a  =  2 tg 2a              1 - tg2a sin a cos a = ½ sin 2a cos2a = ½(1 + cos 2a) sin2a  = ½ (1 - cos 2a) Secara umum : sin na  = 2 sin ½na cos ½na cos na = cos2 ½na - 1 = 2 cos2 ½na - 1 = 1 - 2 sin2 ½na tg na =   2 tg ½na              1 - tg2 ½na JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b                                 2              2 sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b                                 2             2 cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b                                  2              2 cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b                                   2             2 BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN  2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b) PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA Bentuk a cos x + b sin x Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a) a cos x + b sin x = K cos (x-a) dengan :                                   K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ? Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut I II III IV a + - - + b + + - - keterangan : a = koefisien cos x b = koefisien sin x PERSAMAAN I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°                          x2 = (180° - a) + n.360°     cos x = cos a Þ x = ± a + n.360° tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat) II. a cos x + b sin x = c      a cos x + b sin x = C             K cos (x-a) = C                cos (x-a) = C/K     syarat persamaan ini dapat diselesaikan      -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar) misalkan C/K = cos b   cos (x - a) = cos b         (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°                         Melukis Grafik  y = a cos x + b sin xa cos x + b sin x = K cos (x - a)Maksimum = K ® bila cos (x - a) = 1                                cos (x - a) = cos 0°                                            ® untuk x = a + n.360°Minimum = -K ® bila cos (x - a) = -1                               cos (x - a) = cos 180°                          ® untuk x = a ± 180° + n.360° NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x) y = 0   ® bila cos (x-a) = 0                     cos (x-a) = cos 90°                  ® untuk x = a ± 90° + n360° grafik dibuat berdasarkan data-data diatas